2у²+5у+2/у²-4=1

Для решения уравнения \(\frac{2y^2 + 5y + 2}{y^2 - 4} = 1\), начнем с того, чтобы избавиться от дроби, перемножив обе стороны уравнения на знаменатель \(y^2 - 4\) (при условии, что \(y^2 - 4 \neq 0\)).

Следовательно, получаем:

\[ 2y^2 + 5y + 2 = y^2 - 4 \]

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

\[ 2y^2 + 5y + 2 - y^2 + 4 = 0 \]

Соберем подобные члены:

\[ y^2 + 5y + 6 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = 6\).

Сначала находим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]

Теперь подставим значения в формулу корней:

\[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 1}{2} \]

Таким образом, у нас есть два решения:

1. \(y_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)
2. \(y_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)

Итак, решения уравнения:

\(y = -2\) и \(y = -3\).

Наконец, не забудьте проверить, что найдённые решения не приводят к нулю в знаменателе исходного уравнения. Подставляя, \(y^2 - 4\) будет равно \(0\) при \(y = 2\) и \(y = -2\). Таким образом, \(y = -2\) не подходит, но \(y = -3\) — верное решение.

Таким образом, решение уравнения:

\(y = -3\).