Найдите расстояние от точки М(4; 3; 4) до плоскости x-2y+3=0 используя формулы. Пусть координаты точки: M(xo; yo; zo) , уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0 Тогда расстояние от точки до плоскости вычислястся по формуле: d= |Axo+Byo+Czo+D|/ на квадратный корень (A²+B²+C²)
Для нахождения расстояния от точки М(4; 3; 4) до плоскости, заданной уравнением x - 2y + 3 = 0, сначала преобразуем уравнение плоскости в стандартный вид \(Ax + By + Cz + D = 0\).
В данном случае:
- \(A = 1\) (коэффициент при x),
- \(B = -2\) (коэффициент при y),
- \(C = 0\) (коэффициент при z),
- \(D = 3\) (свободный член, который будет со знаком минус: \(D = -3\)).
Теперь мы подставим координаты точки \(M(4; 3; 4)\) в формулу для расчета расстояния от точки до плоскости:
\[ d = \frac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]
Подставим значения:
- \(x_0 = 4\)
- \(y_0 = 3\)
- \(z_0 = 4\)
Тогда выражение в числителе будет выглядеть так: \[ d = \frac{|1 \cdot 4 + (-2) \cdot 3 + 0 \cdot 4 - 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 0^2}} \]
Это упрощается до: \[ d = \frac{|4 - 6 - 3|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|4 - 6 - 3|}{\sqrt{5}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \]
Таким образом, расстояние от точки М до плоскости равно \(\sqrt{5}\).
