Решите систему неравенства 3x²-x>0, x<0

Чтобы решить систему неравенств:

1. Неравенство: \(3x^2 - x > 0\)
2. Неравенство: \(x < 0\)

Сначала решим первое неравенство \(3x^2 - x > 0\).

1. Найдем корни: Для этого приравняем левую часть к нулю:

   \(3x^2 - x = 0\)

   Вынесем общий множитель \(x\):

   \(x(3x - 1) = 0\)

   Таким образом, корни: \(x = 0\) и \(3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\).

2. Определим знаки на интервалах. У нас есть три интервала, которые нужно проверить:

   • \( (-\infty, 0) \)
   • \( (0, \frac{1}{3}) \)
   • \( (\frac{1}{3}, +\infty) \)

   Проверим знаки:

   • Для интервала \( (-\infty, 0) \) (например, \(x = -1\)): \(3(-1)^2 - (-1) = 3 + 1 = 4 > 0\) (положительный)

   • Для интервала \( (0, \frac{1}{3}) \) (например, \(x = \frac{1}{6}\)): \(3(\frac{1}{6})^2 - \frac{1}{6} = \frac{3}{36} - \frac{6}{36} = -\frac{3}{36} < 0\) (отрицательный)

   • Для интервала \( (\frac{1}{3}, +\infty) \) (например, \(x = 1\)): \(3(1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2 > 0\) (положительный)

Таким образом, неравенство \(3x^2 - x > 0\) выполняется на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (\frac{1}{3}, +\infty) \).

Теперь совмещаем с вторым неравенством \(x < 0\):

• Мы уже видим, что на интервале \( (-\infty, 0) \) первое неравенство также выполняется.

Следовательно, решение системы неравенств:

Ответ: \(x \in (-\infty, 0)\).