Даны векторы a → ( 0 ; 3 ) a (0;3), b → ( − 2 ; 4 ) b (−2;4) и c → ( 4 ; − 1 ) c (4;−1). Найдите длину вектора a → + 2 b → + c → a + 2b + c .

Для нахождения длины вектора \( \mathbf{a} + 2\mathbf{b} + \mathbf{c} \) сначала нужно определить сумму этих векторов.

Начнем с того, что векторы заданы в виде координат: \[ \mathbf{a} = (0; 3), \quad \mathbf{b} = (-2; 4), \quad \mathbf{c} = (4; -1). \]

Теперь мы можем найти \( 2\mathbf{b} \): \[ 2\mathbf{b} = 2 \cdot (-2; 4) = (-4; 8). \]

Теперь находим сумму векторов \( \mathbf{a} + 2\mathbf{b} + \mathbf{c} \): \[ \mathbf{a} + 2\mathbf{b} + \mathbf{c} = (0; 3) + (-4; 8) + (4; -1). \]

Складываем координаты по компонентам:

1. Первая компонента: \[ 0 + (-4) + 4 = 0. \]

2. Вторая компонента: \[ 3 + 8 + (-1) = 3 + 8 - 1 = 10. \]

Таким образом, мы получаем результат: \[ \mathbf{a} + 2\mathbf{b} + \mathbf{c} = (0; 10). \]

Теперь необходимо найти длину этого вектора. Длина (модуль) вектора \( \mathbf{v} = (x; y) \) рассчитывается по формуле: \[ |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}. \]

Для нашего вектора \( \mathbf{v} = (0; 10) \): \[ |\mathbf{v}| = \sqrt{0^2 + 10^2} = \sqrt{0 + 100} = \sqrt{100} = 10. \]

Таким образом, длина вектора \( \mathbf{a} + 2\mathbf{b} + \mathbf{c} \) равна \( 10 \).