№5.В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того. что Аня и Нина окажутся в одной группе.

Для решения задачи о вероятности того, что Аня и Нина окажутся в одной группе, воспользуемся комбинаторикой.

1. Общее количество способов разделить 21 человека на 7 групп по 3 человека: Это можно вычислить по формуле для разбиения n объектов на группы r размером k: \[ \text{Количество способов} = \frac{n!}{(k!)^r \cdot m!} \] где \( n \) — общее количество людей, \( k \) — размер группы (3 человека), \( r \) — количество групп (7), \( m \) — количество неразличимых групп (в данном случае 0, так как группы различимы). Здесь мы имеем: \[ n = 21, k = 3, r = 7 \] Поэтому: \[ \text{Количество способов} = \frac{21!}{(3!)^7 \cdot 7!} \]

2. Количество способов, когда Аня и Нина в одной группе: Сначала выберем группу, в которую они войдут. Это будет одна группа из 3 человек. Оставшиеся 19 человек нужно разделить на 6 групп по 3 человека.

   Для формирования группы с Аней и Ниной, мы можем выбрать еще одного человека из оставшихся 19: \[ \text{Способы выбрать третьего} = C(19, 1) = 19 \]

   После этого остаётся 19 человек, которых нужно распределить по 6 группам по 3 человека: \[ \text{Количество способов} = \frac{19!}{(3!)^6 \cdot 6!} \]

3. Общее количество способов с Аней и Ниной в одной группе: Теперь объединяем оба случая: \[ \text{Общее количество} = 19 \cdot \frac{19!}{(3!)^6 \cdot 6!} \]

4. Вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе: Теперь можем вычислить вероятность: \[ P = \frac{\text{Количество способов, когда Аня и Нина в одной группе}}{\text{Общее количество способов разделить класс на группы}} = \frac{19 \cdot \frac{19!}{(3!)^6 \cdot 6!}}{\frac{21!}{(3!)^7 \cdot 7!}} \]

   Сначала упростим это выражение: \[ P = \frac{19 \cdot 19! \cdot (3!)^7 \cdot 7!}{21! \cdot (3!)^6 \cdot 6!} \]

   После упрощений, \( 21! = 21 \cdot 20 \cdot 20! \): \[ P = \frac{19 \cdot (3!) \cdot 7!}{21 \cdot 20} \] Так как \( 3! = 6 \): \[ P = \frac{19 \cdot 6 \cdot 7!}{21 \cdot 20} \]

   Теперь читайте результат: \[ P = \frac{114}{420} = \frac{19}{70} \]

Таким образом, вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе, равна \( \frac{19}{70} \).