(х-1)²(х²+3х+2)<0
Давайте разберемся с неравенством \((x-1)^2(x^2+3x+2)<0\).
Нахождение корней: Сначала найдем корни уравнения \((x-1)^2 (x^2+3x+2)=0\).
- Из первого множителя \((x-1)^2=0\) следует, что \(x=1\).
- Теперь рассмотрим второй множитель \(x^2+3x+2=0\). Это квадратное уравнение можно разложить на множители: \[ x^2+3x+2 = (x+1)(x+2) = 0 \] Корни этого уравнения: \(x=-1\) и \(x=-2\).
Таким образом, у нас есть три корня: \(x = 1\), \(x = -1\) и \(x = -2\).
Знаки на интервалах: Теперь нужно определить знаки выражения \((x-1)^2(x+1)(x+2)\) на промежутках, разделяемых корнями. Рассмотрим четыре интервала: \((-∞, -2)\), \((-2, -1)\), \((-1, 1)\) и \((1, +∞)\).
Интервал \((-∞, -2)\): например, \(x = -3\) \(((-3-1)^2)((-3+1)(-3+2)) = 16 \cdot (-2) = -32 < 0\) (знак отрицательный).
Интервал \((-2, -1)\): например, \(x = -1.5\) \(((-1.5-1)^2)((-1.5+1)(-1.5+2)) = 6.25 \cdot (-0.5)(0.5) = -1.56 < 0\) (знак отрицательный).
Интервал \((-1, 1)\): например, \(x = 0\) \((0-1)^2(0+1)(0+2) = 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2 > 0\) (знак положительный).
Интервал \((1, +∞)\): например, \(x = 2\) \((2-1)^2(2+1)(2+2) = 1 \cdot 3 \cdot 4 = 12 > 0\) (знак положительный).
Вывод: Теперь мы имеем информацию о знаках:
- На интервалах \((-∞, -2)\) и \((-2, -1)\) выражение \((x-1)^2(x^2+3x+2) < 0\).
- На интервалах \((-1, 1)\) и \((1, +∞)\) выражение \((x-1)^2(x^2+3x+2) > 0\).
Неравенство также не будет выполняться в точках \(x = -2\), \(x = -1\) и \(x = 1\), потому что это корни уравнения.
Таким образом, итоговое решение неравенства \((x-1)^2(x^2+3x+2)<0\) записывается в виде:
\[ (-∞, -2) \cup (-2, -1) \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно что-то объяснить еще раз, не стесняйтесь спрашивать!
