Из натуральных чисел от 1 до 100 выбрано 50 различных. Оказалось, что сумма никаких двух из них не равна 100. Верно ли что среди выбранных чисел всегда найдёться квадрат какого нибцдь целого числа
Давайте разберёмся с этой задачей. У нас есть 50 различных натуральных чисел от 1 до 100, и ни одна пара чисел не даёт в сумме 100.
Для начала, давайте определим, какие пары чисел от 1 до 100 в сумме дают 100. Это следующие пары:
- (1, 99)
- (2, 98)
- (3, 97)
- (4, 96)
- (5, 95)
- (6, 94)
- (7, 93)
- (8, 92)
- (9, 91)
- (10, 90)
- (11, 89)
- (12, 88)
- (13, 87)
- (14, 86)
- (15, 85)
- (16, 84)
- (17, 83)
- (18, 82)
- (19, 81)
- (20, 80)
- (21, 79)
- (22, 78)
- (23, 77)
- (24, 76)
- (25, 75)
- (26, 74)
- (27, 73)
- (28, 72)
- (29, 71)
- (30, 70)
- (31, 69)
- (32, 68)
- (33, 67)
- (34, 66)
- (35, 65)
- (36, 64)
- (37, 63)
- (38, 62)
- (39, 61)
- (40, 60)
- (41, 59)
- (42, 58)
- (43, 57)
- (44, 56)
- (45, 55)
- (46, 54)
- (47, 53)
- (48, 52)
- (49, 51)
Всего у нас 49 пар чисел, которые в сумме дают 100. Это означает, что из каждого числа в паре мы можем выбрать только одно. Следовательно, если мы выбираем 50 чисел, то как минимум одно число должно быть выбрано из каждой из этих пар.
Теперь перечислим квадраты целых чисел, которые находятся в пределах от 1 до 100: 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81, 10² = 100.
Из этих квадратов находим, какие из них могут быть выбраны, чтобы не нарушать правило о сумме в 100. Мы видим, что, учитывая пары, можно гарантировать, что одно из чисел - квадрат - окажется среди выбранных чисел.
Таким образом, среди выбранных чисел всегда найдётся квадрат какого-нибудь целого числа.
