4. Найдите угол между векторами m вектор (3; 0) и ท вектор (3; √3). 5. Даны точки А(-1; 12), В(-3; 7) и С(9; 12). Определите координаты точки D так, чтобы выполнялось равенство: АС = BD.

Конечно, давай разберем задачи.

Задача 4: Найдите угол между векторами \( m \) (3; 0) и \( \ท \) (3; √3).

Для нахождения угла между векторами используем формулу, основанную на скалярном произведении:

1. Найди скалярное произведение векторов: \( m \cdot \ท = 3 \cdot 3 + 0 \cdot \sqrt{3} = 9 \).
2. Найди длины векторов:
   • Длина вектора \( m \) равна 3.
   • Длина вектора \( \ท \) равна \( \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).
3. Воспользуйся формулой косинуса угла: \[ \cos \theta = \frac{m \cdot \ท}{|m||\ท|} = \frac{9}{3 \times 2\sqrt{3}} = \frac{9}{6\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \].
4. Угол \(\theta\) равен 30 градусов, так как \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Задача 5: Определите координаты точки D так, чтобы выполнялось равенство \( AC = BD \).

1. Найди длину отрезка \( AC \):

   • \( A(-1, 12), C(9, 12) \).
   • Длина \( AC = \sqrt{(9 + 1)^2 + (12 - 12)^2} = \sqrt{10^2} = 10 \).

2. Обозначим координаты точки \( D(x, y) \). Найди расстояние \( BD \), которое должно равняться 10:

   • \( B(-3, 7) \).
   • Расстояние \( BD = \sqrt{(x + 3)^2 + (y - 7)^2} \).

3. Приравняй длины:

   • \( \sqrt{(x + 3)^2 + (y - 7)^2} = 10 \).
   • Уравнение: \( (x + 3)^2 + (y - 7)^2 = 100 \).

4. Реши это уравнение для нахождения возможных координат \( D(x, y) \).

Надеюсь, это поможет! Если будут вопросы, дай знать.