Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 109 найдите эти числа

Давайте обозначим два последовательных натуральных числа. Пусть первое число — это \( n \), тогда вторым числом будет \( n + 1 \).

Теперь запишем условие задачи. Произведение этих двух чисел больше их суммы на 109:

\[ n(n + 1) = n + (n + 1) + 109 \]

Упростим правую часть уравнения:

\[ n(n + 1) = 2n + 1 + 109 \] \[ n(n + 1) = 2n + 110 \]

Теперь перенесем все элементы в левую часть уравнения:

\[ n(n + 1) - 2n - 110 = 0 \]

Разложим уравнение:

\[ n^2 + n - 2n - 110 = 0 \] \[ n^2 - n - 110 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -110 \). Подставим значения:

\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110)}}{2 \cdot 1} \] \[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 440}}{2} \] \[ n = \frac{1 \pm \sqrt{441}}{2} \] \[ n = \frac{1 \pm 21}{2} \]

Теперь найдем два возможных значения для \( n \):

1. \( n = \frac{22}{2} = 11 \)
2. \( n = \frac{-20}{2} = -10 \) (не рассматриваем, так как \( n \) должно быть натуральным числом)

Итак, первое число \( n = 11 \), а второе число \( n + 1 = 12 \).

Ответ: искомые числа — 11 и 12.