Решить двойное неравенство: 1.)6 <= 3x ^ 2 - x + 6 <= 10 2.)- 5 < (2 + x)/(x ^ 2) < 1 3.)1 < (x ^ 2 - 3)/(x - 2) < 2

Конечно! Давайте решим каждое из двойных неравенств по порядку.

1.) \(6 \leq 3x^2 - x + 6 \leq 10\)

Сначала разберем два отдельных неравенства.

Первое неравенство: \[ 6 \leq 3x^2 - x + 6 \]

Упростим его: \[ 3x^2 - x + 6 - 6 \geq 0 \] \[ 3x^2 - x \geq 0 \]

Вынесем \(x\) за скобки: \[ x(3x - 1) \geq 0 \]

Теперь найдем корни:

1. \(x = 0\)
2. \(3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\)

Анализируя знак произведения \(x(3x - 1)\), мы получаем интервалы:

• \(x < 0\) - отрицательно
• \(0 \leq x < \frac{1}{3}\) - положительно
• \(x = \frac{1}{3}\) - ноль
• \(x > \frac{1}{3}\) - положительно

Таким образом, первое неравенство выполняется при: \[ x \leq 0 \quad \text{или} \quad x \geq \frac{1}{3} \]

Второе неравенство: \[ 3x^2 - x + 6 \leq 10 \]

Упростим: \[ 3x^2 - x + 6 - 10 \leq 0 \] \[ 3x^2 - x - 4 \leq 0 \]

Теперь найдем дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 \]

Корни: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 7}{6} \]

Корни:

1. \(x_1 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)
2. \(x_2 = \frac{-6}{6} = -1\)

Анализируем интервал \(x \in [-1, \frac{4}{3}]\).

Теперь совместим оба условия: \[ x \in [-1, 0] \cup \left[\frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right] \]

2.) \(-5 < \frac{2 + x}{x^2} < 1\)

Разделим на два неравенства:

Первое неравенство: \[ -5 < \frac{2 + x}{x^2} \] Умножим обе стороны на \(x^2\) (заметим, что для этого \(x^2 > 0\)): \[ -5x^2 < 2 + x \quad \Rightarrow \quad 5x^2 + x + 2 > 0 \]

Дискриминант: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 1 - 40 = -39 \] Так как дискриминант отрицательный, это второе неравенство выполняется для всех \(x \neq 0\).

Второе неравенство: \[ \frac{2 + x}{x^2} < 1 \] Умножим на \(x^2\): \[ 2 + x < x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 - x - 2 > 0 \]

Корни: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] Корни: \[ x = \frac{1 \pm 3}{2} \quad \Rightarrow \quad x_1 = 2, \quad x_2 = -1 \]

Знак функции меняется на интервалах:

• \(x < -1\) - положительно
• \(-1 < x < 2\) - отрицательно
• \(x > 2\) - положительно

Итак, второе неравенство выполняется при \(x < -1\) или \(x > 2\).

Совместим условия: \(-5 < \frac{2 + x}{x^2}\) выполняется для \(x < -1\) или \(x > 2\).

3.) \(1 < \frac{x^2 - 3}{x - 2} < 2\)

Опять же разделим на два неравенства.

Первое неравенство: \[ 1 < \frac{x^2 - 3}{x - 2} \] Умножим на \(x - 2\) (учтем знак): \[ x - 2 < x^2 - 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 - x - 1 > 0 \]

Корни: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 \] Корни: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \]

Анализируем интервалы:

• \(x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\) - положительно
• \(\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) - отрицательно
• \(x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) - положительно

Второе неравенство: \[ \frac{x^2 - 3}{x - 2} < 2 \] Умножим на \(x - 2\) (учтем знак): \[ x^2 - 3 < 2x - 4 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 2x + 1 < 0 \] \[ (x - 1)^2 < 0 \] Это условие не имеет решения, так как квадрат не может быть отрицательным.

Таким образом, для первой части:

• Одно неравенство обозначает, что \(x\) либо меньше \(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\), либо больше \(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\).
• Таким образом, итоговое решение: \[ x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \quad \text{или} \quad x > 2 \]

Надеюсь, это поможет вам в решении ваших задач! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!