Физическое тело, скатывающееся с горки с некоторой начальной скоростью, за 3 секунды проходит 2 м, а в следующие 3 секунды — 4 м. Считая движение равноускоренным, найди начальную скорость тела.
Для решения этой задачи, начнем с анализа движения физического тела. Учитывая, что движение равноускоренное, можно воспользоваться уравнениями кинематики.
Обозначим:
- \( s_1 = 2 \) м — путь, пройденный телом за первые 3 секунды.
- \( s_2 = 4 \) м — путь, пройденный телом за следующие 3 секунды.
- \( t_1 = 3 \) с — время первого интервала.
- \( t_2 = 3 \) с — время второго интервала.
- \( v_0 \) — начальная скорость.
- \( a \) — постоянное ускорение.
Для первого отрезка времени можем использовать следующее уравнение:
\[ s_1 = v_0 \cdot t_1 + \frac{1}{2} a t_1^2 \]
Подставим известные значения:
\[ 2 = v_0 \cdot 3 + \frac{1}{2} a \cdot 3^2 \]
Это уравнение можно упростить до:
\[ 2 = 3v_0 + \frac{9}{2} a \quad (1) \]
Теперь рассмотрим второй отрезок времени. Для него уравнение будет выглядеть следующим образом:
\[ s_2 = (v_0 + a \cdot t_1) \cdot t_2 + \frac{1}{2} a t_2^2 \]
Здесь \( v_0 + a \cdot t_1 \) — это конечная скорость в конце первого отрезка времени. Подставим:
\[ 4 = (v_0 + a \cdot 3) \cdot 3 + \frac{1}{2} a \cdot 3^2 \]
Упрощаем:
\[ 4 = 3v_0 + 9a + \frac{9}{2} a \] \[ 4 = 3v_0 + 9a + 4.5a \] \[ 4 = 3v_0 + 13.5a \quad (2) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( 3v_0 + 4.5a = 2 \)
- \( 3v_0 + 13.5a = 4 \)
Для решения этой системы, вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
\[ (3v_0 + 13.5a) - (3v_0 + 4.5a) = 4 - 2 \]
Это упростится до:
\[ 9a = 2 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{2}{9} \, \text{м/с}^2 \]
Теперь подставим найденное значение ускорения \( a \) обратно в одно из уравнений, например, в (1):
\[ 3v_0 + \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9} = 2 \] \[ 3v_0 + 1 = 2 \] \[ 3v_0 = 1 \quad \Rightarrow \quad v_0 = \frac{1}{3} \, \text{м/с} \]
Таким образом, начальная скорость тела \( v_0 \) равна \( \frac{1}{3} \) м/с.
