В конверте оказалась следующая подсказка — маршрут, который привёл Васю Карандашова к стене. Она уходит в обе стороны далеко за горизонт, но в ней есть огромные ворота, рядом с которыми находится аппарат с монитором и кнопкой. На экране показано натуральное число. Вася нажал на кнопку, число на экране вычлось из числа 2024, и вывелся новый результат. Юноша ещё раз нажал на эту кнопку, и число поменялось по тому же алгоритму, что и при первом нажатии. Тогда Вася нажал кнопку в третий раз, алгоритм снова повторился, и на экране появилось изначальное число. Ворота тут же открылись. Какое число было на экране изначально?

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим исходное число на экране как \( x \).

При первом нажатии на кнопку, число на экране изменяется по следующему алгоритму: \[ 2024 - x \] После первого нажатия, на экране теперь находится \( 2024 - x \).

При втором нажатии алгоритм повторяется: \[ 2024 - (2024 - x) = x \] Теперь на экране снова оказывается \( x \).

Таким образом, после трёх нажатий на кнопку мы возвращаемся к исходному числу \( x \). Это означает, что на экране изначально было такое число, которое при двух "вычитаниях" снова возвращает нас к этому же числу.

Чтобы убедиться, что такое число существует, проверим условия:

1. Первое нажатие: \( 2024 - x_1 = y_1 \)
2. Второе нажатие: \( 2024 - y_1 = x_1 \)

Эти уравнения показывают, что изначальное число может быть найдено при каждом втором нажатии на кнопку, чтобы в конечном итоге мы вернулись к исходному числу.

Таким образом, для любого натурального числа, которое Вася нажал, исполняется данная логика. Можно сделать вывод, что изначальное число на экране — это просто 2024, поскольку при его вычитании в обоих случаях будет возвращаться к самому себе после двух изменений.

Ответ: первоначальное число на экране — 2024.