Равнобедренную трапецию диагональ разбила на два треугольника, разность периметров которых равна 12 см, а ее средняя линия - 18 см. Найдите основания трапеции.

Для решения этой задачи давайте обозначим некоторые элементы трапеции. Пусть:

• \( a \) и \( b \) — основания трапеции (где \( a > b \)),
• Линия, соединяющая середины боковых сторон, равная 18 см, называется средней линией (обозначим её \( m \)).
• Средняя линия трапеции рассчитывается по формуле: \( m = \frac{a + b}{2} \).

Итак, у нас есть следующее уравнение:

\[ \frac{a + b}{2} = 18 \] Умножив обе стороны на 2, получаем:

\[ a + b = 36 \quad (1) \]

Теперь рассмотрим разницу периметров треугольников, образованных диагоналями. Обозначим длины боковых сторон трапеции как \( c \) и \( d \). Периметры треугольников, образованных диагоналями, составляют:

1. Для первого треугольника: \( P_1 = a + c + d \)
2. Для второго треугольника: \( P_2 = b + c + d \)

Разность периметров равна 12 см:

\[ P_1 - P_2 = (a + c + d) - (b + c + d) = a - b = 12 \quad (2) \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( a + b = 36 \)
2. \( a - b = 12 \)

Для нахождения значений \( a \) и \( b \) можем решить эту систему. Сложим оба уравнения:

\[ (a + b) + (a - b) = 36 + 12 \] \[ 2a = 48 \quad \Rightarrow \quad a = 24 \]

Теперь подставим значение \( a \) в первое уравнение для нахождения \( b \):

\[ 24 + b = 36 \quad \Rightarrow \quad b = 12 \]

Таким образом, основания трапеции равны:

\[ a = 24 \text{ см и } b = 12 \text{ см.} \]

Ответ: основания трапеции равны 24 см и 12 см.