сократите дробь x³-6x²+11x-6/x³-5x²+6

Чтобы сократить дробь \(\frac{x^3 - 6x^2 + 11x - 6}{x^3 - 5x^2 + 6}\), начнем с факторизации числителя и знаменателя.

1. Факторизация числителя: Для \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) мы можем попробовать найти корни с помощью теоремы Безу. Проверим значения \(x = 1\) и \(x = 2\):

• Подставляя \(x = 1\): \[ 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 \] Значит, \(x = 1\) — корень.

Теперь можем разделить \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) на \(x - 1\) с помощью деления многочленов или воспользуемся схемой Горнера. Разделив, получим: \[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6) \]

Теперь \(x^2 - 5x + 6\) также можно факторизовать: \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \] Таким образом, числитель можно записать как: \[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3) \]

2. Факторизация знаменателя: Теперь рассмотрим знаменатель \(x^3 - 5x^2 + 6\). Проверим также \(x = 1\) и \(x = 2\):

• Подставляя \(x = 2\): \[ 2^3 - 5 \cdot 2^2 + 6 = 8 - 20 + 6 = -6 \quad (\text{не корень}) \]

• Подставляя \(x = 3\): \[ 3^3 - 5 \cdot 3^2 + 6 = 27 - 45 + 6 = -12 \quad (\text{тоже не корень}) \]

Подбором можно убедиться, что \(x = 1\) является корнем, и, используя аналогичный метод деления, можно получить: \[ x^3 - 5x^2 + 6 = (x - 1)(x^2 - 4x - 6) \]

Сокращение дроби: Теперь подставим полученные факторизации обратно: \[ \frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}{(x - 1)(x^2 - 4x - 6)} \]

Сократим на \((x - 1)\) (при условии, что \(x \neq 1\)): \[ \frac{(x - 2)(x - 3)}{x^2 - 4x - 6} \]

Дальше можно оставить так, но также можноFactorize \(x^2 - 4x - 6\): \[ x^2 - 4x - 6 = (x - 2)^2 - 10 \]

Таким образом, окончательная сокращенная форма дроби: \[ \frac{(x - 2)(x - 3)}{x^2 - 4x - 6} \] Докажем, что ничего больше не сокращается.

Надеюсь, это поможет вам понять, как сокращать дроби. Если есть другие вопросы, не стесняйтесь задавать!