{М|х2+4у2=9, ху=1}

Чтобы решить систему уравнений \( M: x^2 + 4y^2 = 9 \) и \( N: xy = 1 \), давайте начнем с подстановки.

1. Из второго уравнения \( N \) выразим \( y \) через \( x \): \[ y = \frac{1}{x} \]

2. Подставим это значение \( y \) в первое уравнение \( M \): \[ x^2 + 4\left(\frac{1}{x}\right)^2 = 9 \] Это упростится до: \[ x^2 + \frac{4}{x^2} = 9 \]

3. Умножим обе стороны на \( x^2 \) (при условии, что \( x \neq 0 \)): \[ x^4 - 9x^2 + 4 = 0 \] Обозначим \( z = x^2 \). Таким образом, уравнение принимает форму: \[ z^2 - 9z + 4 = 0 \]

4. Теперь решим данное квадратное уравнение с использованием дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 81 - 16 = 65 \]

5. Найдем корни: \[ z = \frac{9 \pm \sqrt{65}}{2} \]

6. Теперь вернемся к \( x^2 \): \[ x^2 = \frac{9 + \sqrt{65}}{2} \quad \text{или} \quad x^2 = \frac{9 - \sqrt{65}}{2} \]

7. Получим значения \( x \): \[ x = \pm \sqrt{\frac{9 + \sqrt{65}}{2}} \quad \text{и} \quad x = \pm \sqrt{\frac{9 - \sqrt{65}}{2}} \]

8. Подставляя эти значения в \( y = \frac{1}{x} \), мы получим соответствующие значения \( y \).

Таким образом, решение системы уравнений включает два набора значений для \( (x, y) \), которые можно получить из полученных значений \( x \). Если потребуется дальнейшая помощь с подстановкой и вычислением, дайте знать!