Решите задачу 8. Автомобиль, двигаясь с ускорением 2 м/с², за 5 с протел 125 м. Найдите начальную скорость автомобиля. 9. Начиная равноускоренное движение, тело проходит за первые…

Давайте разберём каждую из задач подробнее.

Задача 8

Дано:

• Ускорение \( a = 2 \, \text{м/с}^2 \)
• Время \( t = 5 \, \text{с} \)
• Пройденный путь \( S = 125 \, \text{м} \)

Найти начальную скорость \( v_0 \).

Для равномерно ускоренного движения путь можно найти по формуле: \[ S = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \]

Подставим известные значения: \[ 125 = v_0 \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5^2 \]

Рассчитаем второй член: \[ \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 25 = 25 \]

Подставим: \[ 125 = 5v_0 + 25 \]

Упростим уравнение: \[ 125 - 25 = 5v_0 \] \[ 100 = 5v_0 \]

Теперь найдём начальную скорость: \[ v_0 = \frac{100}{5} = 20 \, \text{м/с} \]

Задача 9

Дано:

• Путь за первые 4 секунды \( S_1 = 24 \, \text{м} \)
• Путь за следующие 4 секунды \( S_2 = 64 \, \text{м} \)

Начальную скорость \( v_0 \) будем обозначать за \( v_0 \).

Для первого отрезка времени (первые 4 секунды): \[ S_1 = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \] \[ 24 = v_0 \cdot 4 + \frac{1}{2} a \cdot 16 \] \[ 24 = 4v_0 + 8a \tag{1} \]

Для второго отрезка времени (следующие 4 секунды), общее время — 8 секунд: \[ S_2 = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \] \[ S_{\text{total}} = S_1 + S_2 = v_0 \cdot 8 + \frac{1}{2} a \cdot 64 \] \[ 88 = 8v_0 + 32a \tag{2} \]

Теперь у нас есть две системы уравнений (1) и (2): Из уравнения (1) выразим \( a \): \[ a = \frac{24 - 4v_0}{8} \]

Теперь подставим это значение в уравнение (2): \[ 88 = 8v_0 + 32 \left(\frac{24 - 4v_0}{8}\right) \] Упрощаем: \[ 88 = 8v_0 + 96 - 16v_0 \] \[ 88 - 96 = -8v_0 \] \[ -8 = -8v_0 \] Таким образом: \[ v_0 = 1 \, \text{м/с} \]

Задача 10

Для этой задачи сначала нужно найти уравнения движения двух тел. У нас есть два уравнения:

1. \( x_1 = -40 + 4t^2 \)
2. \( x_2 = 560 - 20t \)

а) Определим, какое тело движется равномерно, а какое равноускоренно:

• Первое тело имеет слагаемое с \( t^2 \), значит, оно движется равноускоренно.
• Второе тело имеет линейное слагаемое \( t \), значит, движется равномерно.

б) Начальные координаты:

• Для первого тела: \( x_1(0) = -40 \)
• Для второго тела: \( x_2(0) = 560 \)

Направления и скорости:

1. Первое тело движется с увеличением координаты.
2. Второе тело движется с уменьшением координаты (т.к. скорость отрицательная).

в) Координаты через 5 секунд:

• \( x_1(5) = -40 + 4 \cdot 5^2 = -40 + 100 = 60 \)
• \( x_2(5) = 560 - 20 \cdot 5 = 560 - 100 = 460 \)

г) Для нахождения момента встречи: Приравняем уравнения: \[ -40 + 4t^2 = 560 - 20t \] Решим это уравнение: \[ 4t^2 + 20t - 600 = 0 \] Разделим на 4: \[ t^2 + 5t - 150 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625 \] Корни: \[ t = \frac{-5 \pm 25}{2} \implies t_1 = 10 \quad (t_2 = -15\, \text{не принимаем}) \]

Подставляем \( t = 10 \) в \( x_2 \): \[ x_{meet} = x_2(10) = 560 - 200 = 360 \]

д) Построить графики зависимости скорости от времени:

1. Для первого тела: \( v_1 = \frac{dx_1}{dt} = 8t \)
2. Для второго тела: \( v_2 = \frac{dx_2}{dt} = -20 \)

График \( v_1 = 8t \) — это прямая, начинающаяся из начала координат с положительным наклоном, а график \( v_2 = -20 \) — горизонтальная линия на уровне -20.

Надеюсь, это поможет вам разобраться в задачах! Если есть ещё вопросы, обращайтесь!