В банке была объявлена необычная акция по вкладам: через один год вложения увеличиваются на девятую часть суммы вклада, по прошествии второго года к вкладу добавляется десятая…

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Николай вложил X тысяч рублей. По условиям акции, каждый год к сумме вклада добавляется доля от текущей суммы, причем эта доля увеличивается на одну сотую за каждый год:

1. Первый год:

   • Добавляется 1/9 от суммы.
   • Сумма через год: \( S_1 = X + \frac{X}{9} = X \left(1 + \frac{1}{9}\right) = X \cdot \frac{10}{9} \).

2. Второй год:

   • Теперь добавляется 1/10 от суммы.
   • Сумма через второй год: \( S_2 = S_1 + \frac{S_1}{10} = S_1 \left(1 + \frac{1}{10}\right) = S_1 \cdot \frac{11}{10} = X \cdot \frac{10}{9} \cdot \frac{11}{10} \).

3. Третий год:

   • Добавляется 1/11 от суммы.
   • Сумма через третий год: \( S_3 = S_2 + \frac{S_2}{11} = S_2 \left(1 + \frac{1}{11}\right) = S_2 \cdot \frac{12}{11} = X \cdot \frac{10}{9} \cdot \frac{11}{10} \cdot \frac{12}{11} \).

4. Повторяя данный процесс, можно заметить, что каждый год к ранее накопленной сумме добавляется доля, которая увеличивается на одну. В результате, формула для суммы после n лет будет выглядеть как:

\[ S_n = X \cdot \frac{10}{9} \cdot \frac{11}{10} \cdot \frac{12}{11} \cdots \cdot \frac{(n + 9)}{(n + 8)} \]

На десятый год n = 10. Подставляем:

\[ S_{10} = X \cdot \frac{10}{9} \cdot \frac{11}{10} \cdots \cdot \frac{19}{18} \]

Теперь упрощаем это произведение:

\[ S_{10} = X \cdot \frac{19}{9} \]

Таким образом, через 10 лет сумма на счете Николая составит:

\[ S_{10} = X \cdot \frac{19}{9} = \frac{19X}{9} \]

Если предположить, что Николай вложил, например, 10 тысяч рублей, то:

\[ S_{10} = \frac{19 \cdot 10}{9} = \frac{190}{9} \approx 21.11 \text{ тысяч рублей.} \]

Итак, количество денег на счету Николая через десять лет будет приблизительно 21.11 тысяч рублей, в зависимости от начальной суммы, которую он вложил.