Имеются два сосуда, содержащие 7 и 13 кг раствора соли различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 6,1% соли. Если же слить равные массы этих…
Имеются два сосуда, содержащие 7 и 13 кг раствора соли различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 6,1% соли. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 7% соли. Сколько килограммов соли содержит- ся в первом растворе? решить задачу уравнением, через x.
Давайте решим эту задачу шаг за шагом, используя обозначение \( x \) для количества соли в первом растворе.
Обозначим:
- \( x \) — количество соли в первом растворе (в кг).
- \( y \) — количество соли во втором растворе.
Так как у нас есть 7 кг раствора соли в первом сосуде и 13 кг во втором, мы можем записать следующие уравнения, основываясь на данных в задаче.
- Первое условие: Когда растворы смешиваются, получаем 6,1% соли.
Общее количество раствора будет: \[ 7 + 13 = 20 \text{ кг} \]
Общее количество соли в полученном растворе будет: \[ x + y \text{ кг} \]
И согласно условию: \[ \frac{x + y}{20} = 0,061 \implies x + y = 0,061 \times 20 \implies x + y = 1,22 \]
- Второе условие: Когда равные массы этих растворов сливаются, получаем 7% соли.
Если мы смешиваем 7 кг первого раствора и 7 кг второго, общий вес раствора будет: \[ 7 + 7 = 14 \text{ кг} \]
Общее количество соли будет: \[ \frac{x + \frac{7}{13}y}{14} = 0,07 \]
Где \(\frac{7}{13}y\) — это количество соли во втором растворе, если взять только половину его массы (7 кг). Тогда уравнение будет: \[ x + \frac{7}{13}y = 0,07 \times 14 \implies x + \frac{7}{13}y = 0,98 \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( x + y = 1,22 \) (1)
- \( x + \frac{7}{13}y = 0,98 \) (2)
Теперь мы решим эту систему.
Из уравнения (1) выразим \( y \): \[ y = 1,22 - x \]
Подставим это значение в уравнение (2): \[ x + \frac{7}{13}(1,22 - x) = 0,98 \]
Упростим это уравнение: \[ x + \frac{7 \cdot 1,22}{13} - \frac{7}{13}x = 0,98 \]
Теперь соберем все \( x \) в одну сторону: \[ x - \frac{7}{13}x + \frac{7 \cdot 1,22}{13} = 0,98 \]
Объединим \( x \): \[ \left(1 - \frac{7}{13}\right)x + \frac{7 \cdot 1,22}{13} = 0,98 \] \[ \frac{6}{13}x + \frac{7 \cdot 1,22}{13} = 0,98 \]
Умножим все на 13, чтобы избавиться от дробей: \[ 6x + 7 \cdot 1,22 = 12,74 \] \[ 6x + 8,54 = 12,74 \] \[ 6x = 12,74 - 8,54 \] \[ 6x = 4,2 \]
Итак: \[ x = \frac{4,2}{6} = 0,7 \]
Таким образом, количество соли в первом растворе составляет \( 0,7 \) кг.
Теперь подставим \( x \) в первое уравнение, чтобы найти \( y \): \[ y = 1,22 - 0,7 = 0,52 \text{ кг} \]
Ответ: в первом растворе содержится 0,7 кг соли.
