Sin²150°+cos²120°-tg²150°

Чтобы решить выражение \( \sin^2 150^\circ + \cos^2 120^\circ - \tan^2 150^\circ \), мы будем использовать тригонометрические идентичности и значения.

1. Вычислим \( \sin 150^\circ \): \[ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] Следовательно, \[ \sin^2 150^\circ = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \]

2. Вычислим \( \cos 120^\circ \): \[ \cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} \] Следовательно, \[ \cos^2 120^\circ = \left( -\frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \]

3. Теперь находим \( \tan 150^\circ \): \[ \tan 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} \] Значение \( \cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), поэтому \[ \tan 150^\circ = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] Теперь, \[ \tan^2 150^\circ = \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{1}{3} \]

Теперь подставим всё в исходное выражение: \[ \sin^2 150^\circ + \cos^2 120^\circ - \tan^2 150^\circ = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \]

Сложим первые две дроби: \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Теперь вычтем \( \frac{1}{3} \): \[ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \]

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю, которым будет 6: \[ \frac{1}{2} = \frac{3}{6}, \quad \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \] Теперь вычтем: \[ \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \]

Таким образом, результат выражения \( \sin^2 150^\circ + \cos^2 120^\circ - \tan^2 150^\circ \) равен \( \frac{1}{6} \).