Найти область определения и множество значений функции y=x^-2√2

Чтобы найти область определения и множество значений функции \( y = \frac{1}{x^2 \sqrt{2}} \), давайте рассмотрим каждый аспект.

1. Область определения функции: Область определения функции включает все значения \( x \), для которых функция имеет смысл. В данном случае, выражение \( x^2 \) всегда положительно, за исключением \( x = 0 \), где оно становится неопределённым (потому что делить на ноль нельзя). Также, поскольку \(\sqrt{2}\) является постоянным положительным числом, оно не влияет на область определения.

   Таким образом, область определения функции: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{0\ (x \neq 0)\} \]

2. Множество значений функции: Чтобы найти множество значений функции, проанализируем её поведение. Поскольку \( x^2 \) всегда положительно для \( x \neq 0 \) и значение функции зависит от \( x^2 \), \( y \) также будет всегда положительным. При больших \( x \) (как положительных, так и отрицательных), значение функции будет стремиться к нулю.

   При \( x \) близком к нулю, \( y \) будет стремиться к бесконечности. Следовательно, функция принимает все положительные значения.

   Таким образом, множество значений функции: \[ E = (0, +\infty) \]

Итак, мы нашли область определения и множество значений функции \( y = \frac{1}{x^2 \sqrt{2}} \):

• Область определения: \( D = \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
• Множество значений: \( E = (0, +\infty) \)