Сумма положительных чисел a и b равна 46. При каких значениях a и b из произведения будет наибольшим?

Чтобы найти значения положительных чисел \(a\) и \(b\) при которых произведение \(P = a \cdot b\) будет максимальным, можно воспользоваться методом, основанным на свойствах симметрии и условиях задачи.

Зная, что сумма \(a\) и \(b\) равна 46, можем записать:

\[ a + b = 46 \]

Из этого уравнения выразим одно из чисел через другое, например, \(b = 46 - a\). Теперь подставим это выражение в формулу произведения:

\[ P = a \cdot b = a \cdot (46 - a) = 46a - a^2 \]

Теперь нам нужно найти максимум функции \(P\). Это квадратное уравнение, которое можно записать как:

\[ P = -a^2 + 46a \]

Коэффициент перед \(a^2\) отрицательный, что означает, что парабола (график функции \(P\)) открыта вниз и имеет максимальную точку. Чтобы найти координаты вершины параболы, используем формулу:

\[ a_{max} = -\frac{b}{2a} \]

где \(b = 46\) и \(a = -1\) (из уравнения \(P = -a^2 + 46a\)). Подставляя значения:

\[ a_{max} = -\frac{46}{2 \cdot (-1)} = \frac{46}{2} = 23 \]

Теперь найдем значение \(b\):

\[ b = 46 - a_{max} = 46 - 23 = 23 \]

Таким образом, при \(a = 23\) и \(b = 23\) произведение \(P\) будет максимальным.

В заключение, чтобы произведение \(ab\) было наибольшим, значения \(a\) и \(b\) должны быть равны и составлять 23.