Диаметр шара равен 6 и является осью цилиндра, вписанного в этот шар. Радиус основания цилиндра равен √5. найдите отношение объёма шара к объёму цилиндр.
Для решения этой задачи, начнем с вычисления объема шара и объема цилиндра.
Объем шара: Формула для объема шара \( V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3 \), где \( r \) – радиус шара. Диаметр шара равен 6, следовательно, радиус \( r = \frac{6}{2} = 3 \).
Подставим значение радиуса в формулу:
\[ V_{шара} = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = \frac{4}{3} \pi (27) = 36 \pi. \]
Объем цилиндра: Формула для объема цилиндра \( V_{цилиндра} = S_{основания} \cdot h \), где \( S_{основания} \) – площадь основания цилиндра, а \( h \) – высота цилиндра.
Радиус основания цилиндра равен \( \sqrt{5} \):
\[ S_{основания} = \pi (\sqrt{5})^2 = 5\pi. \]
Теперь необходимо найти высоту цилиндра. Вписанный цилиндр в шар имеет высоту, равную вертикальному расстоянию между двумя основанием и верхней частью цилиндра. Если мы проведем горизонтальную плоскость через центр шара, то высота цилиндра будет в два раза меньше длины от нижнего основания цилиндра до верхнего. Мы можем использовать радиус цилиндра и радиус шара для нахождения высоты.
Поскольку цилиндр вписан в шар, высота \( h \) цилиндра может быть найдена по формуле:
\[ h = 2\sqrt{r^2 - r_{основания}^2}, \]
где \( r \) – радиус шара (3), а \( r_{основания} \) – радиус основания цилиндра (\( \sqrt{5} \)).
Подставим значения:
\[ h = 2\sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2} = 2\sqrt{9 - 5} = 2\sqrt{4} = 4. \]
Теперь подставим данные для объема цилиндра:
\[ V_{цилиндра} = S_{основания} \cdot h = 5\pi \cdot 4 = 20\pi. \]
Нахождение отношения объемов: Теперь найдем отношение объема шара к объему цилиндра:
\[ \frac{V_{шара}}{V_{цилиндра}} = \frac{36\pi}{20\pi} = \frac{36}{20} = \frac{9}{5}. \]
Таким образом, отношение объема шара к объему цилиндра равно \( \frac{9}{5} \).
