3sin^22x-5sin2x-2=0

Для решения уравнения \( 3\sin^2{2x} - 5\sin{2x} - 2 = 0 \) давайте начнем с подстановки. Обозначим \( y = \sin{2x} \). Тогда уравнение можно переписать в виде:

\[ 3y^2 - 5y - 2 = 0. \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \( a = 3 \), \( b = -5 \), \( c = -2 \).

Подставим значения в формулу:

1. Находим дискриминант:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49. \]

2. Находим корни:

\[ y = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 7}{6}. \]

Теперь найдем два возможных значения для \( y \):

• \( y_1 = \frac{12}{6} = 2 \)
• \( y_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \)

Теперь вернемся к переменной \( y = \sin{2x} \).

1. Для \( y_1 = 2 \): Поскольку значение синуса не может превышать 1, это решение не имеет смысла.

2. Для \( y_2 = -\frac{1}{3} \): Теперь найдем \( 2x \):

\[ \sin{2x} = -\frac{1}{3}. \]

Для нахождения \( 2x \) решим это уравнение:

\[ 2x = \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi, \] где \( k \) — целое число.

Теперь вычисляем \( x \):

\[ x = \frac{1}{2}\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + k\pi. \]

Таким образом, у вас есть общее решение для переменной \( x \) в исходном уравнении \( 3\sin^2{2x} - 5\sin{2x} - 2 = 0 \).