№2. В параллелограмме КМNР проведена биссектриса угла К, которая пересекает сторону MN в точке Е. а) Докажите, что треуголник КМЕ равнобедренный. б) Найдите сторону КР, если ME=10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

а) Чтобы доказать, что треугольник КМЕ равнобедренный, начнем с того, что в параллелограмме углы К и М равны (по свойству параллелограмма). Биссектрисы углов делят углы пополам, следовательно, угол КМЕ равен углу ЕМК.

Обозначим угол К как α, тогда угол КМЕ = α/2 и угол ЕМК = α/2. Таким образом, в треугольнике КМЕ угол КМЕ равен углу ЕМК, что дает нам:

∠КМЕ = ∠ЕМК.

Поскольку два угла в треугольнике равны, то по свойству равнобедренного треугольника, стороны, противолежащие этим углам, равны. То есть:

KM = KE.

Следовательно, треугольник КМЕ является равнобедренным.

б) Теперь найдем сторону КР. В параллелограмме сумма длин всех сторон равна периметру. Если обозначим сторону КМ как a и сторону КР как b, то:

2a + 2b = 52 см.

Разделим обе стороны на 2:

a + b = 26 см.

Также известно, что отрезок ME соприкасается с измерением стороны КР, так как точка E находит на стороне MN, и по свойству биссектрисы для параллелограмма, если ME = 10 см, то:

KM (то есть a) можно выразить через ME, так как KM = ME. По теореме о биссектрисе угла, имеем:

\[ \frac{KM}{MR} = \frac{KE}{EM}. \]

Пусть KE = x. Тогда:

\[ \frac{x}{b – 10} = \frac{10}{x}. \]

С использованием уравнения a + b = 26, получаем два уравнения, которые можно решить для нахождения b.

Если подставить b = 26 - a в первое уравнение, мы должны найти значение a, затем пересчитать для нахождения KР.

Можно решить систему, но для быстроты здесь применим информацию, что вычтем 10 из 26:

b = 26 - 10 = 16 см.

Это указывает, что сторона КР равна 16 см.

Итак, ответ: сторона КР равна 16 см.