Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды
Чтобы найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нужно сначала рассчитать площадь основания, а затем площадь боковых граней.
Площадь основания: Основание правильной четырехугольной пирамиды является квадратом со стороной 10. Площадь квадрата (S) вычисляется по формуле: \[ S = a^2, \] где \(a\) - длина стороны квадрата. Подставляем значение: \[ S = 10^2 = 100. \]
Площадь боковых граней: У правильной четырехугольной пирамиды четыре боковые грани, каждая из которых является равнобедренным треугольником. Чтобы найти площадь одной боковой грани, нужно знать высоту этого треугольника.
Для нахождения высоты треугольника можно использовать теорему Пифагора. Мы знаем, что основание треугольника (сторона квадрата) равно 10. Половина этого основания: \[ \frac{10}{2} = 5. \]
Длина бокового ребра (гипотенуза) составляет 13. Обозначим высоту треугольника как \(h\). По теореме Пифагора имеем: \[ h^2 + 5^2 = 13^2. \] Подставляем значения: \[ h^2 + 25 = 169. \] Затем решим уравнение: \[ h^2 = 169 - 25 = 144 \implies h = 12. \]
Теперь находим площадь одной боковой грани (треугольника): \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основа} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60. \]
Поскольку у нас четыре боковых грани, общая площадь боковых граней будет: \[ S_{\text{боковые}} = 4 \cdot 60 = 240. \]
Общая площадь поверхности: Суммируем площади основания и боковых граней: \[ S_{\text{поверхности}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковые}} = 100 + 240 = 340. \]
Таким образом, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет 340 квадратных единиц.
