Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой 0,05 м,если в минуту совершается 150 колебаний и начальная фаза колебаний П/4.Найти смещение от положения…
Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой 0,05 м,если в минуту совершается 150 колебаний и начальная фаза колебаний П/4.Найти смещение от положения равновесия при t= 0,4 с
Для описания гармонического колебательного движения можно использовать уравнение вида:
\[ x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi) \]
где \(x(t)\) - смещение от положения равновесия в момент времени \(t\), \(A\) - амплитуда колебаний, \(\omega\) - угловая частота, \(\phi\) - начальная фаза.
Амплитуда \(A\): Из условия задачи известно, что амплитуда равна 0,05 м, то есть: \[ A = 0,05 \, \text{м} \]
Угловая частота \(\omega\): Число колебаний в минуту (150 колебаний) нужно перевести в секунды, так как стандартная единица измерения времени – секунды: \[ f = \frac{150 \, \text{колебаний}}{60 \, \text{с}} = 2,5 \, \text{Гц} \]
Угловая частота \(\omega\) связана с частотой \(f\) формулой: \[ \omega = 2 \pi f \] Подставляем значение частоты: \[ \omega = 2 \pi \cdot 2,5 = 5\pi \, \text{рад/c} \]
Начальная фаза \(\phi\): Задана начальная фаза \(\phi = \frac{\pi}{4}\).
Теперь можем составить полное уравнение движения: \[ x(t) = 0,05 \cdot \cos(5\pi t + \frac{\pi}{4}) \]
Нахождение смещения при \(t = 0,4\) с: Подставим \(t = 0,4\) в уравнение: \[ x(0.4) = 0,05 \cdot \cos(5\pi \cdot 0.4 + \frac{\pi}{4}) \]
Сначала вычислим \(5\pi \cdot 0.4\): \[ 5\pi \cdot 0.4 = 2\pi \]
Теперь подставим это значение в уравнение: \[ x(0.4) = 0,05 \cdot \cos(2\pi + \frac{\pi}{4}) \]
Заметим, что \(\cos(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4})\): \[ x(0.4) = 0,05 \cdot \cos(\frac{\pi}{4}) = 0,05 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Таким образом, получаем: \[ x(0.4) = 0,05 \cdot 0,7071 \approx 0,0354 \, \text{м} \]
Итак, смещение от положения равновесия при \(t = 0,4\) секунды составляет примерно 0,0354 м.
