√5-√7/√5+√7 освободитесь от рациональности в знаменателе

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе в выражении \(\frac{\sqrt{5} - \sqrt{7}}{\sqrt{5} + \sqrt{7}}\), нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю. Сопряженное выражение для \(\sqrt{5} + \sqrt{7}\) — это \(\sqrt{5} - \sqrt{7}\).

Давайте произведем эти действия:

1. Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{5} - \sqrt{7}\):

\[ \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{7})(\sqrt{5} - \sqrt{7})}{(\sqrt{5} + \sqrt{7})(\sqrt{5} - \sqrt{7})} \]

2. Посчитаем числитель:

\[ (\sqrt{5} - \sqrt{7})^2 = \sqrt{5}^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{7} + \sqrt{7}^2 = 5 - 2\sqrt{35} + 7 = 12 - 2\sqrt{35} \]

3. Посчитаем знаменатель:

\[ (\sqrt{5} + \sqrt{7})(\sqrt{5} - \sqrt{7}) = \sqrt{5}^2 - \sqrt{7}^2 = 5 - 7 = -2 \]

4. Теперь подставим результаты в исходное выражение:

\[ \frac{12 - 2\sqrt{35}}{-2} = -\frac{12}{2} + \frac{2\sqrt{35}}{2} = -6 + \sqrt{35} \]

Таким образом, выражение \(\frac{\sqrt{5} - \sqrt{7}}{\sqrt{5} + \sqrt{7}}\), избавившись от иррациональности в знаменателе, становится:

\(-6 + \sqrt{35}\).