Из одной той же точки вертикально вверх интервалом в t =1 сек бросают два одинаковых шарика Со скорортями v¹=20 м/с и v²=25 м/с соответственно. Через некоторое время шарики упруго сталкиваются. Через сколько секунд после броска второго шарика произойдет это столкновение?
Для решения этой задачи давайте начнем с определения положения каждого шарика в зависимости от времени.
Положение первого шарика (v¹ = 20 м/с): Шарик начинает движение в момент времени t = 0 сек. Его положение в момент времени t записывается по формуле: \[ h_1(t) = v_1 \cdot t - \frac{g}{2} t^2 \] где \( g \) — ускорение свободного падения (примерно 9.81 м/с²). Подставим \( v_1 = 20 \) м/с: \[ h_1(t) = 20t - 4.905t^2 \]
Положение второго шарика (v² = 25 м/с): Второй шарик бросается через 1 секунду после первого, то есть его движение начинается в момент времени t = 1 сек. Для его положения, если \( t \) — общее время от начала, то время для второго шарика будет \( t - 1 \): \[ h_2(t) = v_2 \cdot (t - 1) - \frac{g}{2} (t - 1)^2 \] Подставим \( v_2 = 25 \) м/с: \[ h_2(t) = 25(t - 1) - 4.905(t - 1)^2 \] Разворачиваем это уравнение: \[ h_2(t) = 25t - 25 - 4.905(t^2 - 2t + 1) = 25t - 25 - 4.905t^2 + 9.81t - 4.905 \] \[ h_2(t) = -4.905t^2 + (25 + 9.81)t - 29.905 \] \[ h_2(t) = -4.905t^2 + 34.81t - 29.905 \]
Условия столкновения: Шарики столкнутся, когда их высоты равны: \[ h_1(t) = h_2(t) \] Подставим выражения для \( h_1(t) \) и \( h_2(t) \): \[ 20t - 4.905t^2 = -4.905t^2 + 34.81t - 29.905 \] Упрощаем уравнение: \[ 20t = 34.81t - 29.905 \] Переносим все на одну сторону: \[ 0 = 34.81t - 20t - 29.905 \] \[ 0 = 14.81t - 29.905 \] Теперь решим это уравнение: \[ 14.81t = 29.905 \] \[ t = \frac{29.905}{14.81} \approx 2.01 \text{ сек} \]
Время после броска второго шарика: Поскольку второй шарик был брошен через 1 секунду после первого, столкновение произойдет через: \[ t - 1 \approx 2.01 - 1 = 1.01 \text{ сек} \]
Таким образом, столкновение шариков произойдет примерно через 1.01 секунды после броска второго шарика.
