Из одной той же точки вертикально вверх интервалом в t =1 сек бросают два одинаковых шарика Со скорортями v¹=20 м/с и v²=25 м/с соответственно. Через некоторое время шарики упруго сталкиваются. Через сколько секунд после броска второго шарика произойдет это столкновение?
Для решения задачи рассмотрим движение обоих шариков и определим момент их столкновения.
Движение первого шарика: Первый шарик бросают вверх с начальной скоростью \( v_1 = 20 \, \text{м/с} \). Его высота \( h_1(t) \) в момент времени \( t \) можно выразить следующей формулой:
\[ h_1(t) = v_1 \cdot t - \frac{g}{2} t^2 \] где \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \) — ускорение свободного падения.
Движение второго шарика: Второй шарик бросают через \( t = 1 \, \text{сек} \) с начальной скоростью \( v_2 = 25 \, \text{м/с} \). Если обозначить время после броска второго шарика как \( t' \), тогда высота второго шарика \( h_2(t') \) будет:
\[ h_2(t') = v_2 \cdot t' - \frac{g}{2} (t')^2 \]
При этом \( t' = t - 1 \), где \( t \) — общее время с момента броска первого шарика.
Условия столкновения: Шарики столкнутся, когда их высоты равны:
\[ h_1(t) = h_2(t - 1) \]
Подставим выражения для высот:
\[ 20t - \frac{g}{2} t^2 = 25(t - 1) - \frac{g}{2} (t - 1)^2 \]
Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[ 20t - \frac{g}{2} t^2 = 25t - 25 - \frac{g}{2} (t^2 - 2t + 1) \]
Затем продолжим упрощение:
\[ 20t - \frac{g}{2} t^2 = 25t - 25 - \frac{g}{2} t^2 + g t - \frac{g}{2} \]
Сгруппировав все члены, получим:
\[ 0 = 25t - 20t - 25 + \frac{g}{2} = 5t - 25 + \frac{g}{2} \]
Подставим значение \( g \):
\[ 5t - 25 + 4.905 = 0 \]
\[ 5t - 20.095 = 0 \]
\[ t = \frac{20.095}{5} \approx 4.019 \]
Время после броска второго шарика: Поскольку второй шарик был брошен через 1 секунду, время после его броска составит:
\[ t' = t - 1 \approx 4.019 - 1 \approx 3.019 \, \text{сек} \]
Таким образом, шарики столкнутся примерно через 3.02 секунды после броска второго шарика.
