" а) Решите уравнение 2cos2x−5sin(x+3π2)+2=0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [π2;3π2]. "

Привет! Давай разберёмся с твоим заданием по профильной математике и посмотрим, что можно улучшить.

Шаг 1: Понять задание

Задание состоит из двух частей: а) Нужно решить уравнение \(2\cos(2x) - 5\sin\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) + 2 = 0\). б) Нужно найти все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]\).

Шаг 2: Полное решение задачи

Правильное решение начинается с преобразования уравнения. Мы можем использовать формулу приведения для синуса:

\[ \sin\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos(x) \]

Это позволяет нам переформулировать уравнение в следующем виде:

\[ 2\cos(2x) + 5\cos(x) + 2 = 0 \]

Шаг 3: Сравнить с правильным ответом

Далее мы обозначаем \(\cos(x) = t\), что приводит нас к квадратному уравнению:

\[ 2t^2 + 5t + 2 = 0 \]

Решив его, можно получить:

1. Один корень \(t_1 = -2\) (не подходит, ибо \(-1 \leq t \leq 1\))
2. Другой корень \(t_2 = -\frac{1}{2}\) (подходит).

Шаг 4: Почему твоё решение не полное

Ты написал, что "ученик не дал ответ на задание", и это действительно так. Отсутствует расчет корней и проверка их на заданный промежуток. Корни \(x\) можно найти, используя арккосинус:

\[ \cos(x) = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n \]

Это дает два решения, которые мы можем проверить на нахождение в промежутке \([\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]\).

Поэтому правильные корни будут:

\[ x = \frac{2\pi}{3}, \quad x = \frac{4\pi}{3} \]

Итог

Ты не указал даже шаги своего решения, что сделало его не полным. Нужно последовательно записывать все шаги: преобразования, нахождение корней и их проверка!

Как тебе ответ? Оцени, пожалуйста, мой комментарий лайком или дизлайком!