Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 24 см, а боковая сторона — 10 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Чтобы найти радиус окружности, описанной около равнобокой трапеции, можно использовать формулу для радиуса описанной окружности (R) относительно сторон трапеции. Параметры нашей трапеции:

• Основания: \( a = 8 \) см и \( b = 24 \) см
• Боковая сторона: \( c = 10 \) см

Сначала найдем длину высоты равнобокой трапеции. Используя треугольник, образованный высотой, половинами оснований и боковой стороной, получаем:

1. Находим половину разности оснований: \[ m = \frac{b - a}{2} = \frac{24 - 8}{2} = 8 \text{ см} \]

2. Обозначим высоту трапеции как \( h \). По теореме Пифагора мы можем найти высоту: \[ h^2 + m^2 = c^2 \implies h^2 + 8^2 = 10^2 \] \[ h^2 + 64 = 100 \implies h^2 = 36 \implies h = 6 \text{ см} \]

Теперь, зная высоту и основания, можем применить формулу для радиуса описанной окружности \( R \) равнобокой трапеции:

\[ R = \frac{abc}{4S} \] где \( S \) — площадь трапеции, которую можно найти по формуле: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} = \frac{(8 + 24) \cdot 6}{2} = \frac{32 \cdot 6}{2} = 96 \text{ см}^2 \]

Теперь подставим значения в формулу для \( R \):

\[ R = \frac{8 \cdot 24 \cdot 10}{4 \cdot 96} \]

Сначала посчитаем числитель и знаменатель:

\[ 8 \cdot 24 = 192 \] \[ 192 \cdot 10 = 1920 \] \[ 4 \cdot 96 = 384 \]

Теперь подставляем значения в формулу для \( R \):

\[ R = \frac{1920}{384} = 5 \text{ см} \]

Таким образом, радиус окружности, описанной около равнобокой трапеции, равен 5 см.