Каждый вирус характеризуют параметром R, «базовым репродуктивным числом». Это среднее количество людей, которое заражает один заболевший. В сообществах без иммунитета заражение…
Каждый вирус характеризуют параметром R, «базовым репродуктивным числом». Это среднее количество людей, которое заражает один заболевший. В сообществах без иммунитета заражение прогрессирует геометрически. Допустим, что R = 6. Первый заболевший заразит шестерых. Каждый из них - ещё шестерых, что даст 36 новых заболевших. Они заразят ещё 216 человек и так далее. Спустя ещё 8 циклов число теоретических заражённых достигнет 2 миллиардов. Если часть людей вакцинирована от этого вируса и имеет иммунитет, фактическое R уменьшится: из 6 встреченных людей болеющий сможет заразить не всех. В нашем примере при доле вакцинированных в 50 % каждый заболевший будет заражать в среднем трёх новых людей, а при 83 % - одного. При доле, превышающей 83 %, эпидемия будет затухать. Такое явление «невосприимчивости» группы людей к заболеванию называется коллективным иммунитетом. Сколько новых людей будет заражено вирусом с R = 4 спустя 4 «цикла» заражения, если вакцинировано 25 % населения? Считайте, что первый «цикл» начинается тем, что первый заболевший начинает распространять вирус.
Давайте разберем задачу подробнее.
Мы знаем, что базовое репродуктивное число \( R = 4 \), что означает, что каждый заболевший в среднем может заразить 4 новых человека. Однако, поскольку 25% населения вакцинированы и имеют иммунитет, только 75% оставшейся популяции может быть подвержено заражению.
Первый цикл (первый заболевший): Первый заболевший заразит \( 4 \) новых человека.
Второй цикл: Из 4 новых заболевших каждый может заразить по 4 новых человека, но поскольку 25% населения вакцинированы, мы должны учитывать, что из 4 новых зараженных каждый может заразить только \( 4 \times 0.75 = 3 \) новых человека (на каждую из 4 новых жертв, которые не вакцинированы): \[ 4 \text{ (первое поколение)} \times 3 = 12 \]
Третий цикл: Теперь у нас 12 новых заболевших. Каждый из них тоже заражает по 3 новых человека: \[ 12 \times 3 = 36 \]
Четвертый цикл: В этом цикле у нас 36 новых заболевших. Аналогично, каждый из них также заразит по 3 новых человека: \[ 36 \times 3 = 108 \]
Теперь сложим всех новых заболевших после каждого цикла:
- Первый цикл: 4
- Второй цикл: 12
- Третий цикл: 36
- Четвертый цикл: 108
Теперь найдем общее количество новых заболевших: \[ 4 + 12 + 36 + 108 = 160 \]
Таким образом, количество новых людей, которые будут заражены вирусом с \( R = 4 \) спустя 4 цикла заражения с учетом 25% вакцинированных, составит 160 человек.
