разложите вектор c {2;3} по векторам a {1;1}, b{1;0}
Чтобы разложить вектор \( \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \) по векторам \( \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) и \( \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \), нужно найти такие коэффициенты \( x \) и \( y \), чтобы можно было записать:
\[ \mathbf{c} = x \mathbf{a} + y \mathbf{b} \]
Это уравнение можно перенести в координатах:
\[ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]
Это приводит к следующей системе уравнений:
- \( x + y = 2 \) (из первой компоненты)
- \( x = 3 \) (из второй компоненты)
Теперь решим эту систему:
Из второго уравнения мы находим \( x = 3 \). Подставим это значение в первое уравнение:
\[ 3 + y = 2 \]
Выразим \( y \):
\[ y = 2 - 3 = -1 \]
Таким образом, мы получили:
\[ x = 3, \quad y = -1 \]
Следовательно, вектор \( \mathbf{c} \) можно представить в виде:
\[ \mathbf{c} = 3 \mathbf{a} - 1 \mathbf{b} \]
Это означает, что вектор \( \mathbf{c} \) разлагается по векторам \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) с коэффициентами \( 3 \) и \( -1 \) соответственно.
