Найдите объём тела, полученного при вращении фигуры, ограниченной линиями y = x + 2 x = 1 , x = 3 и y = 0 вокруг оси абсцисс.

Чтобы найти объём тела, полученного при вращении фигуры, ограниченной линиями \( y = x + 2 \), \( x = 1 \), \( x = 3 \) и \( y = 0 \) вокруг оси абсцисс, мы можем воспользоваться методом дисков.

Сначала найдем точки пересечения кривой \( y = x + 2 \) с осью \( y = 0 \) (это горизонтальная ось, на которой \( y \) равно нулю): \[ x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2. \] Однако, нас интересует только участок между \( x = 1 \) и \( x = 3 \).

Теперь нам нужно вычислить объём тела вращения. Формула для объёма \( V \) при вращении фигуры вокруг оси абсцисс будет выглядеть следующим образом: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx, \] где \( f(x) = x + 2 \), а \( a = 1 \), \( b = 3 \).

Подставим значения в формулу: \[ V = \pi \int_{1}^{3} (x + 2)^2 \, dx. \]

Теперь найдем \((x + 2)^2\): \[ (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4. \]

Теперь подставим это в интеграл: \[ V = \pi \int_{1}^{3} (x^2 + 4x + 4) \, dx. \]

Теперь вычислим интеграл: \[ \int (x^2 + 4x + 4) \, dx = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x. \]

Теперь подставим пределы интегрирования от 1 до 3: \[ V = \pi \left[ \left( \frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 \right) \right]. \]

Посчитаем значения: Для \( x = 3 \): \[ \frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 = 9 + 18 + 12 = 39. \] Для \( x = 1 \): \[ \frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 = \frac{1}{3} + 2 + 4 = \frac{1}{3} + 6 = \frac{19}{3}. \]

Теперь подставим: \[ V = \pi \left( 39 - \frac{19}{3} \right) = \pi \left( \frac{117}{3} - \frac{19}{3} \right) = \pi \left( \frac{98}{3} \right) = \frac{98\pi}{3}. \]

Таким образом, объём тела, полученного при вращении заданной фигуры вокруг оси абсцисс, равен: \[ V = \frac{98\pi}{3}. \]