Вычесли косинус наименьшего угла треугольника АВС если известный координаты вершины А(-2;2),В(3;2),С(3;-1)
Чтобы вычислить косинус наименьшего угла треугольника ABC, необходимо сначала найти длины сторон треугольника. Вершины треугольника заданы координатами: \( A(-2, 2) \), \( B(3, 2) \) и \( C(3, -1) \).
Находим длины сторон.
Длина стороны AB: \[ AB = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(3 + 2)^2} = \sqrt{5^2} = 5 \]
Длина стороны BC: \[ BC = \sqrt{(3 - 3)^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{0 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \]
Длина стороны CA: \[ CA = \sqrt{((-2) - 3)^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{(-5)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \]
Теперь стороны треугольника:
- \( AB = 5 \)
- \( BC = 3 \)
- \( CA = \sqrt{34} \)
Определяем наименьший угол.
Наименьший угол будет против наибольшей стороны. У нас:
- Сторона AB = 5 (наибольшая)
- Сторона BC = 3
- Сторона CA = \( \sqrt{34} \approx 5.83 \)
Следовательно, наименьший угол будет угол C.
Вычисляем косинус угла C, используя теорему косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \] где:
- \( c \) - сторона, противоположная углу C (сторона AB = 5),
- \( a \) и \( b \) - другие стороны (BC = 3 и CA = \( \sqrt{34} \)).
Подставим известные значения: \[ 5^2 = 3^2 + (\sqrt{34})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{34} \cdot \cos(C) \] \[ 25 = 9 + 34 - 6\sqrt{34} \cdot \cos(C) \] \[ 25 = 43 - 6\sqrt{34} \cdot \cos(C) \] \[ 6\sqrt{34} \cdot \cos(C) = 43 - 25 \] \[ 6\sqrt{34} \cdot \cos(C) = 18 \] \[ \cos(C) = \frac{18}{6\sqrt{34}} = \frac{3}{\sqrt{34}} \]
Таким образом, косинус наименьшего угла треугольника ABC равен \( \frac{3}{\sqrt{34}} \).
