3x²-12x/x²+10x+28>=0
Чтобы решить неравенство \( \frac{3x^2 - 12x}{x^2 + 10x + 28} \geq 0 \), начнем с анализа числителя и знаменателя.
Числитель: \( 3x^2 - 12x \) можно вынести общий множитель: \[ 3x(x - 4) \] Значит, числитель равен нулю при \( x = 0 \) и \( x = 4 \).
Знаменатель: Теперь рассмотрим \( x^2 + 10x + 28 \). Чтобы понять, когда этот квадратный trinomial равен нулю, найдем его дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 100 - 112 = -12 \] Поскольку дискриминант отрицательный, у него нет действительных корней, и квадратный триномиал всегда положителен. Это значит, что знаменатель не равен нулю и всегда больше нуля для любых значений \( x \).
Решение неравенства: Таким образом, мы можем упростить наше неравенство до: \[ 3x(x - 4) \geq 0 \] Теперь нам нужно определить, при каких \( x \) это выражение неотрицательно. Рассмотрим нули: \( x = 0 \) и \( x = 4 \).
Разобьем числовую ось на интервалы: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 4) \), и \( (4, +\infty) \). Теперь проверим знак выражения на каждом интервале:
Интервал \( (-\infty, 0) \): Например, возьмем \( x = -1 \): \[ 3(-1)(-1 - 4) = 3(-1)(-5) = 15 \quad (>0) \]
Интервал \( (0, 4) \): Например, возьмем \( x = 2 \): \[ 3(2)(2 - 4) = 3(2)(-2) = -12 \quad (<0) \]
Интервал \( (4, +\infty) \): Например, возьмем \( x = 5 \): \[ 3(5)(5 - 4) = 3(5)(1) = 15 \quad (>0) \]
Запись окончательного решения: Мы видим, что выражение \( 3x(x - 4) \) положительно на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (4, +\infty) \), а также равно нулю при \( x = 0 \) и \( x = 4 \).
Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty) \]
Это и есть ответ на ваше неравенство. Если у вас есть дополнительные вопросы или трудности с материалом, не стесняйтесь спрашивать!
