В параллелограмме ас=20 бд=16. Диагонали образуют прямой угол. Найти чему равны стороны аб и ад и найти площадь параллелограмма
В параллелограмме ABCD, где AC = 20 и BD = 16, диагонали пересекаются под прямым углом. Давайте разберем, как найти стороны AB и AD, а также площадь параллелограмма.
Найдем стороны AB и AD:
В параллелограмме диагонали, пересекающиеся под прямым углом, создают четыре прямоугольных треугольника. По свойствам этих треугольников и используя теорему Пифагора, мы можем выразить стороны параллелограмма через длины диагоналей. В данном случае:
- Пусть AB = a и AD = b.
- По диагоналям: \[ AC^2 = AB^2 + AD^2 \] \[ BD^2 = AB^2 + AD^2 \]
Подставим длины диагоналей в уравнение: \[ AC^2 + BD^2 = AB^2 + AD^2 + AB^2 + AD^2 = 2(AB^2 + AD^2) \]
Подставим значения: \[ 20^2 + 16^2 = 2(AB^2 + AD^2) \] \[ 400 + 256 = 2(a^2 + b^2) \] \[ 656 = 2(a^2 + b^2) \implies a^2 + b^2 = 328 \]
Теперь, учитывая, что в параллелограмме длины противоположных сторон равны, то: \[ AB^2 + AD^2 = 328 \]
Дополнительно мы можем выразить взаимосвязь между a и b через их соотношение в 90 градусов получаем: \[ AB^2 = AD^2 = \frac{328}{2} = 164 \implies AB = AD = \sqrt{164} = 2\sqrt{41} \]
Таким образом, стороны AB и AD равны: \( AB = AD = 2\sqrt{41} \).
Найдем площадь параллелограмма:
Площадь параллелограмма можно вычислить через длины его сторон и угол между ними. В этом случае, поскольку угол между сторонами является 90 градусов (из-за ортогональности диагоналей), формула площади может быть упрощена до:
\[ S = AB \cdot AD \] \[ S = (2\sqrt{41}) \cdot (2\sqrt{41}) = 4 \cdot 41 = 164 \]
Таким образом, площадь параллелограмма равна 164 квадратных единиц.
Итог:
- Стороны AB и AD равны \( 2\sqrt{41} \).
- Площадь параллелограмма составляет 164.
