найдите промежутки убывания функции y=2x^3-3x^2-12x
Для нахождения промежутков убывания функции \( y = 2x^3 - 3x^2 - 12x \), нам нужно определить, где производная функции отрицательна.
Найдём производную функции:
\( y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 12x) = 6x^2 - 6x - 12 \).
Упростим производную:
\( y' = 6(x^2 - x - 2) \).
Решим уравнение \( y' = 0 \):
\( 6(x^2 - x - 2) = 0 \)
\( x^2 - x - 2 = 0 \).Это уравнение можно решить с помощью дискриминанта:
\( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \).
Найдём корни уравнения:
\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} \).
Таким образом, \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -1 \).
Определим промежутки на числовой прямой. Корни делят прямую на три интервала: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \) и \( (2, +\infty) \).
Выберем тестовые точки в каждом интервале и подставим их в производную \( y' \):
Для интервала \( (-\infty, -1) \), например \( x = -2 \):
\( y'(-2) = 6((-2)^2 - (-2) - 2) = 6(4 + 2 - 2) = 6 \cdot 4 = 24 \) (положительное).Для интервала \( (-1, 2) \), например \( x = 0 \):
\( y'(0) = 6(0^2 - 0 - 2) = 6(-2) = -12 \) (отрицательное).Для интервала \( (2, +\infty) \), например \( x = 3 \):
\( y'(3) = 6(3^2 - 3 - 2) = 6(9 - 3 - 2) = 6(4) = 24 \) (положительное).
Вывод: Функция убывает на промежутке \( (-1, 2) \).
Таким образом, промежуток убывания функции \( y = 2x^3 - 3x^2 - 12x \) — это \( (-1, 2) \).
