1/x-3 + 10/x+5 = 3/2
Давайте решим уравнение:
\[ \frac{1}{x-3} + \frac{10}{x+5} = \frac{3}{2} \]
Для начала, найдём общий знаменатель для дробей. Общий знаменатель для \((x-3)\) и \((x+5)\) будет \((x-3)(x+5)\). Умножим всё уравнение на этот общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей.
Умножив, получим:
\[ (x-3)(x+5) \cdot \frac{1}{x-3} + (x-3)(x+5) \cdot \frac{10}{x+5} = (x-3)(x+5) \cdot \frac{3}{2} \]
После упрощения каждой дроби, получаем:
\[ (x+5) + 10(x-3) = \frac{3}{2}(x-3)(x+5) \]
Теперь упростим левую часть:
\[ x + 5 + 10x - 30 = 11x - 25 \]
В правой части нужно сначала перемножить:
\[ \frac{3}{2}[(x^2 + 2x - 15)] \]
Посчитаем \( (x-3)(x+5) \):
\[ x^2 + 5x - 3x - 15 = x^2 + 2x - 15 \]
Теперь подставим обратно:
\[ \frac{3}{2}(x^2 + 2x - 15) = \frac{3}{2}x^2 + 3x - \frac{45}{2} \]
Теперь у нас есть уравнение:
\[ 11x - 25 = \frac{3}{2}x^2 + 3x - \frac{45}{2} \]
Умножим всё на 2, чтобы избавиться от дробей:
\[ 22x - 50 = 3x^2 + 6x - 45 \]
Теперь приведем все к одной стороне:
\[ 0 = 3x^2 + 6x - 45 - 22x + 50 \]
Это упрощается до:
\[ 3x^2 - 16x + 5 = 0 \]
Теперь мы можем использовать формулу нахождения корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \(a = 3\), \(b = -16\), \(c = 5\).
Посчитаем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 256 - 60 = 196 \]
Теперь найдем корни:
\[ x = \frac{16 \pm \sqrt{196}}{6} = \frac{16 \pm 14}{6} \]
Это дает две возможные значения для \(x\):
- \(x_1 = \frac{30}{6} = 5\)
- \(x_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Таким образом, решения нашего уравнения:
\[ x = 5 \quad \text{и} \quad x = \frac{1}{3} \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или хотите рассмотреть более сложные примеры, не стесняйтесь обращаться!
