Используя уравнение у'(x)= 4х+5, найди его решение и определи число С, если у(-2)=10.

Для решения уравнения \( y'(x) = 4x + 5 \), сначала найдем его общее решение. Мы можем интегрировать обе стороны уравнения:

\[ y(x) = \int (4x + 5) \, dx. \]

При интегрировании получаем:

\[ y(x) = 2x^2 + 5x + C, \]

где \( C \) — произвольная константа интегрирования.

Теперь, чтобы найти значение \( C \), воспользуемся условием \( y(-2) = 10 \). Подставим \( x = -2 \) в общее решение:

\[ y(-2) = 2(-2)^2 + 5(-2) + C. \]

Рассчитаем это:

\[ y(-2) = 2(4) - 10 + C = 8 - 10 + C = -2 + C. \]

Согласно условию, мы знаем, что \( y(-2) = 10 \). Это означает:

\[ -2 + C = 10. \]

Теперь решим это уравнение для \( C \):

\[ C = 10 + 2 = 12. \]

Таким образом, конкретное решение уравнения:

\[ y(x) = 2x^2 + 5x + 12. \]

В итоге, функция \( y(x) = 2x^2 + 5x + 12 \) является решением с учетом заданного начального условия.