X⁴ - 29x² + 180 = 0

Чтобы решить уравнение \( x^4 - 29x^2 + 180 = 0 \), давайте сделаем замену переменной. Обозначим \( y = x^2 \). Тогда уравнение преобразуется к следующему виду:

\[ y^2 - 29y + 180 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти корни:

\[ D = b^2 - 4ac \]

В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -29 \), \( c = 180 \):

\[ D = (-29)^2 - 4 \times 1 \times 180 = 841 - 720 = 121 \]

Теперь находим корни уравнения \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 + 11}{2} = \frac{40}{2} = 20 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 - 11}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

Теперь вернёмся к переменной \( x \):

1. Если \( y_1 = 20 \), то \( x^2 = 20 \): \[ x = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5} \]

2. Если \( y_2 = 9 \), то \( x^2 = 9 \): \[ x = \pm \sqrt{9} = \pm 3 \]

Таким образом, у нашего уравнения \( x^4 - 29x^2 + 180 = 0 \) есть четыре решения:

\[ x = 2\sqrt{5}, \, -2\sqrt{5}, \, 3, \, -3 \]

Если будут вопросы или потребуется дополнительная помощь, не стесняйтесь обращаться!