x³ + x² = 36x + 36

Чтобы решить уравнение \(x^3 + x^2 = 36x + 36\), сначала необходимо привести его к стандартному виду, перенесем все члены на одну сторону уравнения:

\[ x^3 + x^2 - 36x - 36 = 0 \]

Теперь у нас есть кубическое уравнение, которое мы можем решать. Прежде всего, можно попробовать найти целые корни, используя теорему о делителях свободного члена. В данном случае свободный член равен \(-36\). Возможные делители - это числа, которые могут быть как положительными, так и отрицательными: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36.

Теперь мы можем подставить некоторые из этих значений в уравнение, чтобы найти корни. Начнем с 2:

\[ 2^3 + 2^2 - 36 \cdot 2 - 36 = 8 + 4 - 72 - 36 = -96 \quad (\text{Не корень}) \]

Теперь попробуем \( -2 \):

\[ (-2)^3 + (-2)^2 - 36 \cdot (-2) - 36 = -8 + 4 + 72 - 36 = 32 \quad (\text{Не корень}) \]

Теперь попробуем 3:

\[ 3^3 + 3^2 - 36 \cdot 3 - 36 = 27 + 9 - 108 - 36 = -108 \quad (\text{Не корень}) \]

Пробуем 4:

\[ 4^3 + 4^2 - 36 \cdot 4 - 36 = 64 + 16 - 144 - 36 = -100 \quad (\text{Не корень}) \]

Теперь попробуем 6:

\[ 6^3 + 6^2 - 36 \cdot 6 - 36 = 216 + 36 - 216 - 36 = 0 \quad (\text{Это корень!}) \]

Теперь, зная, что \(x = 6\) является корнем, можем разложить кубическое уравнение на множители. Используя деление многочленов, поделим \(x^3 + x^2 - 36x - 36\) на \(x - 6\).

После деления мы получим:

\[ x^3 + x^2 - 36x - 36 = (x - 6)(x^2 + 7x + 6) \]

Теперь решим квадратное уравнение \(x^2 + 7x + 6 = 0\). Для этого найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 \]

Так как \(D > 0\), у нас есть два различных корня. Можно использовать формулу для нахождения корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 5}{2} \]

Первый корень:

\[ x_1 = \frac{-7 + 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Второй корень:

\[ x_2 = \frac{-7 - 5}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]

Таким образом, все корни исходного уравнения:

\[ x_1 = 6, \quad x_2 = -1, \quad x_3 = -6 \]

Результаты уравнения \(x^3 + x^2 = 36x + 36\): \(x = 6\), \(x = -1\), \(x = -6\).