решить поэтапно
Привет! Давай разберёмся с этой задачей по шагам.
Задача: Найти промежутки возрастания и убывания функции \( f(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - 2x + 5 \).
Шаг 1: Найдем производную функции
Первый шаг – найти производную функции, чтобы определить критические точки. Производная функции \( f(x) \) выглядит так: \[ f'(x) = x^2 + 2x - 2 \]
Шаг 2: Найдем критические точки
Решим уравнение \( f'(x) = 0 \): \[ x^2 + 2x - 2 = 0 \]
Используя дискриминант, решим квадратное уравнение: \[ D = 2^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 4 + 8 = 12 \]
Корни: \[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{12}}{2} = -1 + \sqrt{3} \] \[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{12}}{2} = -1 - \sqrt{3} \]
Шаг 3: Определим знаки производной на интервалах
Теперь проверим, где производная положительна (функция возрастает) и отрицательна (функция убывает).
- Для \( x < -1 - \sqrt{3} \) подставим любой \( x \) в \( f'(x) \) (например, \( x = -4 \)) и проверим знак.
- Для \( -1 - \sqrt{3} < x < -1 + \sqrt{3} \) выберем \( x = 0 \).
- Для \( x > -1 + \sqrt{3} \) выберем \( x = 2 \).
Шаг 4: Запишем промежутки
После проверки знаков:
- \( f(x) \) возрастает на \( (-1+\sqrt{3}, +\infty) \).
- \( f(x) \) убывает на \( (-\infty, -1-\sqrt{3}) \cup (-1-\sqrt{3}, -1+\sqrt{3}) \).
Вот так поэтапно мы решили задачу. Если что-то осталось непонятным, спрашивай!
