Укажите промежутки возрастания и убывания функции f)(x)=4x^3-2x+5

Для определения промежутков возрастания и убывания функции \( f(x) = 4x^3 - 2x + 5 \), необходимо пройти несколько шагов.

1. Найдем производную функции: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 2x + 5) = 12x^2 - 2. \]

2. Найдем критические точки: Установим производную равной нулю для поиска критических точек. \[ 12x^2 - 2 = 0. \] Решим уравнение: \[ 12x^2 = 2 \\ x^2 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \\ x = \pm \sqrt{\frac{1}{6}} = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}. \]

3. Определим знак производной на промежутках: Критические точки делят числовую ось на интервалы. Нам нужно исследовать знак производной на следующих интервалах:

   • \( (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{6}}) \)
   • \( (-\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}) \)
   • \( (\frac{1}{\sqrt{6}}, \infty) \)

   Для этого выберем тестовые точки в каждом из интервалов:

   • Для интервала \( (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{6}}) \), например \( x = -1 \): \[ f'(-1) = 12(-1)^2 - 2 = 12 - 2 = 10 > 0 \quad (\text{возрастание}). \]
   • Для интервала \( (-\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}) \), например \( x = 0 \): \[ f'(0) = 12(0)^2 - 2 = -2 < 0 \quad (\text{убывание}). \]
   • Для интервала \( (\frac{1}{\sqrt{6}}, \infty) \), например \( x = 1 \): \[ f'(1) = 12(1)^2 - 2 = 12 - 2 = 10 > 0 \quad (\text{возрастание}). \]

4. Запишем результаты:

   • Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{6}}) \) и \( (\frac{1}{\sqrt{6}}, \infty) \).
   • Функция убывает на интервале \( (-\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}) \).

Таким образом, ответ будет:

• Промежутки возрастания: \( (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{6}}) \) и \( (\frac{1}{\sqrt{6}}, \infty) \).
• Промежуток убывания: \( (-\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}) \).