найдите точки максимума и минимума функции y==x^3 +6x^2-15x-3
Для нахождения точек максимума и минимума функции \( y = x^3 + 6x^2 - 15x - 3 \) следует выполнить несколько шагов:
Найдите производную функции. Для начала мы найдем первую производную функции по переменной \( x \): \[ y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 12x - 15 \]
Приравняйте производную к нулю. Это позволит нам найти критические точки, где могут находиться максимумы и минимумы: \[ 3x^2 + 12x - 15 = 0 \]
Упрощаем уравнение, разделив на 3: \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \]
Решите квадратное уравнение. С помощью формулы для корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -5 \): \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \] Корни: \[ x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = -5 \]
Определите, является ли каждая из критических точек максимумом или минимумом. Для этого найдем вторую производную функции: \[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 6x + 12 \] Подставим найденные критические точки:
Для \( x_1 = 1 \): \[ y''(1) = 6 \cdot 1 + 12 = 18 > 0 \quad (\text{минимум}) \]
Для \( x_2 = -5 \): \[ y''(-5) = 6 \cdot (-5) + 12 = -30 + 12 = -18 < 0 \quad (\text{максимум}) \]
Итак, результаты:
- Точка минимума: \( x = 1 \)
- Точка максимума: \( x = -5 \)
Теперь вы можете подставить эти значения обратно в оригинальную функцию, чтобы найти соответствующие значения \( y \) для полноты анализа.
