f(x)=x(5-x²)

Давайте рассмотрим функцию \( f(x) = x(5 - x^2) \).

1. Определение функции: Эта функция представляет собой произведение двух выражений: \( x \) и \( (5 - x^2) \). Мы можем её записать в более привычной форме: \[ f(x) = 5x - x^3. \]

2. График функции: Чтобы понять, как выглядит график этой функции, можно исследовать её свойства, такие как нули, экстремумы и поведение на бесконечности.

3. Нули функции: Найдем нули функции, приравняв её к нулю: \[ f(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x(5 - x^2) = 0. \] Это уравнение имеет решения:

   • \( x = 0 \),
   • \( 5 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x = \sqrt{5} \) и \( x = -\sqrt{5} \).

4. Экстремумы: Для нахождения экстремумов необходимо взять производную функции и приравнять её к нулю: \[ f'(x) = 5 - 3x^2. \] Приравняем производную к нулю: \[ 5 - 3x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 = 5 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{5}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}. \] Это значения \( x \), в которых функция имеет максимум или минимум.

5. Поведение на бесконечности: При \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \) из-за \( -x^3 \) в уравнении.

6. Интервалы возрастания и убывания: Исследуя знак производной \( f'(x) = 5 - 3x^2 \):

   • Она положительна, когда \( x^2 < \frac{5}{3} \) (т.е. \( -\sqrt{\frac{5}{3}} < x < \sqrt{\frac{5}{3}} \)),
   • Отрицательна, если \( x^2 > \frac{5}{3} \).

Таким образом, функция \( f(x) \) будет возрастать на интервале \( (-\sqrt{\frac{5}{3}}, \sqrt{\frac{5}{3}}) \) и убывать за его пределами.

Если у вас есть дополнительные вопросы или если вам нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!