Треугольнике ABC угол 60° АС=3 BC=7 найти длину высоты BH проведёной из вершины B
Для нахождения длины высоты \( BH \) из вершины \( B \) в треугольнике \( ABC \), где \( \angle ACB = 60° \), \( AC = 3 \), \( BC = 7 \), мы можем воспользоваться формулой для вычисления площади треугольника и свойствами тригонометрии.
- Сначала вычислим длину стороны \( AB \) с помощью теоремы косинусов: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB) \]
Подставим известные значения: \[ AB^2 = 3^2 + 7^2 - 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \cos(60°) \] Так как \( \cos(60°) = \frac{1}{2} \), то: \[ AB^2 = 9 + 49 - 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} \] \[ AB^2 = 9 + 49 - 21 = 37 \] \[ AB = \sqrt{37} \]
- Теперь найдем площадь треугольника \( ABC \) с помощью формулы Герона. Для этого сначала определим полупериметр \( s \): \[ s = \frac{AC + BC + AB}{2} = \frac{3 + 7 + \sqrt{37}}{2} = \frac{10 + \sqrt{37}}{2} \]
Теперь площадь \( S \) можно найти по формуле: \[ S = \sqrt{s(s - AC)(s - BC)(s - AB)} \]
Подставляем значения: \[ S = \sqrt{\frac{10 + \sqrt{37}}{2} \cdot \left(\frac{10 + \sqrt{37}}{2} - 3\right) \cdot \left(\frac{10 + \sqrt{37}}{2} - 7\right) \cdot \left(\frac{10 + \sqrt{37}}{2} - \sqrt{37}\right)} \]
Однако, для нахождения высоты удобнее использовать другую формулу площади, в которой высота будет являться переменной: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(60°) \] \[ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Тогда площадь \( S \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{21\sqrt{3}}{4} \]
- Теперь используя площадь и высоту, мы можем найти \( BH \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BH \] \[ \frac{21\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot BH \] Умножаем обе стороны на 2: \[ \frac{21\sqrt{3}}{2} = 7 \cdot BH \] Делим обе стороны на 7: \[ BH = \frac{21\sqrt{3}}{14} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \]
Таким образом, длина высоты \( BH \) равна \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \).
