найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=x^4/4-8x^2 на отрезке [-1;2]
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( y = \frac{x^4}{4} - 8x^2 \) на отрезке [-1; 2], мы можем следовать следующему алгоритму:
- Найдем производную функции. Это позволит нам определить критические точки, где функция может иметь максимумы или минимумы.
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^4}{4} - 8x^2 \right) = x^3 - 16x \]
- Решим уравнение производной \( y' = 0 \):
\[ x^3 - 16x = 0 \] \[ x(x^2 - 16) = 0 \] Это дает нам корни: \[ x = 0, \quad x = 4, \quad x = -4 \]
Но нам нужно только те корни, которые находятся в интервале [-1; 2]. Таким образом, из этих значений только \( x = 0 \) находится в данном интервале.
- Проверим значения функции в крайних точках интервала и в найденной критической точке:
При \( x = -1 \): \[ y(-1) = \frac{(-1)^4}{4} - 8(-1)^2 = \frac{1}{4} - 8 = \frac{1}{4} - 8 = \frac{1 - 32}{4} = -\frac{31}{4} \]
При \( x = 0 \): \[ y(0) = \frac{0^4}{4} - 8(0)^2 = 0 \]
При \( x = 2 \): \[ y(2) = \frac{(2)^4}{4} - 8(2)^2 = \frac{16}{4} - 8 \cdot 4 = 4 - 32 = -28 \]
- Сравним найденные значения:
- \( y(-1) = -\frac{31}{4} \approx -7.75 \)
- \( y(0) = 0 \)
- \( y(2) = -28 \)
- Наибольшее и наименьшее значения:
- Наибольшее значение на отрезке [-1; 2] равно \( 0 \) при \( x = 0 \).
- Наименьшее значение равно \( -28 \) при \( x = 2 \).
Таким образом, можно заключить, что наибольшее значение функции на указанном интервале равно \( 0\), а наименьшее — \( -28 \).
