Найти значение выражения с помощью первого и второго замечательных пределов lim (x,∞) ((x+1)/(x+2))^x

Для нахождения предела выражения \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x+2}\right)^x\) можно использовать свойства пределов и логарифмы.

1. Начнем с преобразования выражения для удобства. Мы можем записать предельное выражение в виде: \[ y = \left(\frac{x+1}{x+2}\right)^x. \]

2. Применим натуральный логарифм к обеим сторонам, чтобы упростить выражение: \[ \ln(y) = x \cdot \ln\left(\frac{x+1}{x+2}\right). \]

3. Теперь найдем предел \(\lim_{x \to \infty} \ln(y)\): \[ \lim_{x \to \infty} \ln(y) = \lim_{x \to \infty} x \cdot \ln\left(\frac{x+1}{x+2}\right). \]

4. Упростим логарифм: \[ \ln\left(\frac{x+1}{x+2}\right) = \ln(x+1) - \ln(x+2). \] При \(x \to \infty\) \(\ln(x+1) \approx \ln(x)\) и \(\ln(x+2) \approx \ln(x)\), следовательно: \[ \ln\left(\frac{x+1}{x+2}\right) = \ln\left(\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}}\right) \xrightarrow{x \to \infty} \ln(1) = 0. \]

5. Используя разложение логарифма для малых значений, можно получить: \[ \ln\left(1 + u\right) \approx u, \quad \text{где } u \text{ мал, } \] тогда \[ \ln\left(\frac{x+1}{x+2}\right) \approx \frac{1}{x} - \frac{2}{x} = -\frac{1}{x}. \]

6. Теперь заменим в пределе: \[ \lim_{x \to \infty} x \cdot \ln\left(\frac{x+1}{x+2}\right) = \lim_{x \to \infty} x \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) = -1. \]

7. Таким образом, мы нашли, что: \[ \lim_{x \to \infty} \ln(y) = -1. \] Это значит, что: \[ y = e^{-1} = \frac{1}{e}. \]

Следовательно, окончательно получаем ответ: \[ \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x+2}\right)^x = \frac{1}{e}. \]