График функции y=|x-a|+b симметричен относительное прямой x=3 и проходит через точку (5; - 5). Найдите коэффициент a и b
Чтобы решить задачу, нужно использовать свойство симметрии функции и информацию о точке, через которую проходит график.
Симметрия относительно прямой x = 3: Если график функции симметричен относительно прямой x = 3, это значит, что если (x, y) - точка на графике, то (6 - x, y) также будет точкой на графике. Это можно записать в виде симметричного свойства: если x1 = 5, то x2 = 6 - 5 = 1 также должна находиться на графике функции.
Подставим точку (5, -5): Используем уравнение функции, подставляя x = 5: \[ y = |5 - a| + b = -5 \] Это можно переписать как: \[ |5 - a| + b = -5 \]
Подставим вторую симметричную точку (1, y): Если x = 1, то по аналогии: \[ y = |1 - a| + b \]
Поскольку график симметричен, в этих точках значения y должны совпадать (так как y1 = y2). То есть: \[ |5 - a| + b = |1 - a| + b \] Следовательно: \[ |5 - a| = |1 - a| \]
Рассмотрим два случая: a. \( 5 - a = 1 - a \)
\[ 5 = 1 \quad \text{(неверно)} \]b. \( 5 - a = -(1 - a) \)
\[ 5 - a = -1 + a \] \[ 5 + 1 = 2a \] \[ 6 = 2a \Rightarrow a = 3 \]Теперь найдем b: Подставим a = 3 в уравнение, основанное на точке (5, -5): \[ |5 - 3| + b = -5 \] \[ 2 + b = -5 \] \[ b = -5 - 2 = -7 \]
Таким образом, коэффициенты a и b равны: \[ a = 3, \quad b = -7 \]
Ответ: \( a = 3 \) и \( b = -7 \).
